这要从人类的听觉开始谈起。
人类能听到的声音频率大概在20-20000Hz之间，但大脑在接收到声波后，不会认为按等差数列排布的声音(如200Hz、300Hz、400Hz)是等间距的，而是按等比数列的形式(如100Hz、200Hz、400Hz)，两个八度之间的距离在频率上就是两倍关系，比如高音do的频率是do频率的2倍。
早期古人还无法从物理原理上阐释声音的产生和传播规律，只是知道弦振动的频率和其长度成反比。如果用手按住一根弦的中间，就成为了2根以1/2长度振动的弦，这时就会听到一个比较高的音，它的频率和主音F频率相比是2:1，恰好是一个八度。
倘若，所按的位置不是中点，而是其他位置呢?
在数学上3:1、4:1都是简单的比例，它们能得出两个重要的频率，前者是主音的3/2倍，它们的音程关系在乐理上被称为纯五度。而后者是主音的4/3倍，被称为纯四度。
不同音程间的和谐程度自然不同，越是这样简单的比例，听起来越是和谐。
可以在一根弦上不断地寻找最和谐的音，听觉上除了两个八度，最和谐的就是纯五度和纯四度，那么就可以继续把它们的频率减半找到相应的最和谐之音，3/2F自身的3/2倍，成为了9/4F，相当于超出了两个八度，接着，还可以在两个八度内找到与其等价的音，那么就是它的1/2，成为9/8F。
经过一番尝试，会发现按照上述方法找到的12个音就能大致让最和谐的音循环起来。实际上，只要计算5次，就能得到五度相生律，再加上主音和4/3主音，就是今日常用的从do到si的七个音。
然而，不论是上述五度相生法，还是三分损益，都不能实现返宫问题，即“黄钟还原”，也就是说无法实现“闭合成圈”(closed cycle)。
三分损益法进行12次后，所得到的音和最初的音不成八度关系，无法周而复始地旋宫转调。
朱载堉精通数学与乐律，他了解八度的弦长比为2:1，在充分汲取前人经验的基础上，便把八度以等比的形式平均分成十二份，构成了一个等比数列。
当时，没有等比数列的求解方法，他研习《周礼》中的勾股定理时得到启发，遂将黄钟定为1，一个八度内音程为2，即构成了一个首项为1，末项为2，共13项的等比数列，但新的问题又产生了，比例系数应该是多少呢？
用今天的方法来看，朱载堉需将2开方得到中间项(蕤宾)，再继续开平方得到半列的中间项(南吕)，继续开立方则得到应钟……如此类推，最终得到想要的结果。
科学史家戴念祖先生认为，朱载堉通过上述方法的运算最终得到了比例系数。
朱载堉利用自行设计的81档特大算盘，解决了十二平均律这个千年难题，不仅在数学史上，也在音乐理论史上具有划时代意义。
事后，朱载堉曾感叹道：“此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”
万历三十四年（1606年），朱载堉把自己多年来的呕心沥血之作《律学新说》《乐学新说》和《律吕精义》等13种著作编篡成音乐理论文献的巨著——《乐律全书》献给明神宗（万历皇帝）。可惜，心血之作被束之高阁，乏人问津。
《乐律全书》是一部乐舞律历类书，由朱载堉撰。由十五种著作汇刊而成，即：律学新说、乐学新说、算学新说、历学新说、律吕精义、操缦古乐谱、旋宫合乐谱、乡饮诗乐谱、六代小舞谱、小舞乡乐谱、二佾缀兆图、灵星小舞谱、圣寿万年历、万年历备考、律历融通。此本为明万历郑藩刻增修，清代的一个刊印本，共49卷。
总结起来，朱载堉在科学和艺术方面有很多伟大成就。
科学成就
- 最早使用算盘进行开方运算;
- 全世界最早解答了已知等比数列的首项、末项和项数，如何求解其他各项的方法；
- 首次找到了四项等比数列的求解方法和求解公式;
- 最早找到了不同进位制的小数划算方法；
- 完成九进制和十进制的小数换算；
- 通过实验提出了管口校正方法；
- 自行设计了以十二平均律为原理的定音乐器；
- 通过排黍定尺实验，研究度量衡的变迁史，其方法影响深远；
- 测定洛阳地区的地磁偏角，这是科学史上第一个有精确数值的磁偏角记载；
- 制定了两种历法（黄钟历和圣寿万年历），与刑云路一起对明朝的历法进行了修正，推算了空前精确的回归年长度，准确的测定了北京的地理纬度，又准确的测出了水银的密度；
- 他在物理学和乐器学史上最早发现管乐器的末端效应，并且影响后世三百多年之久；
- 他考辫历代度量衡的变迁，其方法影响后世几百年。
艺术成就
朱载堉在世界上最早创立了十二等程律，解决了有史以来音乐上所追求的实现旋宫转调的理论难题，成了钢琴的鼻祖；
把十二平均律的理论推广到音乐实践中，精心制作出了世界上第一架定音乐器——弦准，制作了三十六支铜制律管，每管表示一律。在他的著作中对每律的选材、制作方法、吹奏要求都有详细的说明，数据极其精密。同时他还撰写了大量乐谱、操段谱（练习曲）和弦宫谱等；
他最早创立了“舞学”一词，制定了舞学大纲，把舞蹈从音乐里分离出来，为“舞学”提出了一系列颇为先进的教育观念，可以说今天的乐器伴唱、识谱学唱等深受其影响；
朱载堉擅长白描画，绘制了华夏历史上最详尽的舞谱和舞图，是我国历史上舞谱的集大成者，其拟定的“舞学十议目录”等理论和成就在中国舞蹈史和文化史上占有重要的地位，设计的 《天下太平舞》更是开创了团体操的先河。
“天下太平”舞有很强的代表性，以表现生活、再现劳动、歌颂人民为主题。
朱载堉一生笃学不怠，潜心著书，著述超过百万字，作词脍炙人口，在文学性上有强烈的批判现实主义色彩。他晚年“一人吹律，一人弹琴，一人击缶而歌。余亦自歌，互相倡和，而乐在其中矣。”
他在《山坡羊·十不足》中写道：“逐日奔忙只为饥，才得有食又思衣。置下绫罗身上穿，抬头又嫌房屋低。……上天梯子未坐下，阎王发牌鬼来催。若非此人大限到，上到天上还嫌低。”
《山坡羊·十不足》既揭示了普通人的共同心理状态，又批判了一些人永无止境的贪欲，有很大的警世作用。
综上，朱载堉一生的主要学术成就，一是以《律吕精义》为代表的一系列关于音乐理论、舞蹈著作，奠定了如今音乐文化繁荣的理论基础；二是以《算学新说》等数学著作；三是《历法》；四是计量学、诗词等作品。
崇祯年间，徐光启主持历法修订时，传教士们接触到了朱载堉《乐律全书》（历法和律学的合编）。
到了清朝，乾隆极力维护康熙、打压朱载堉，十年间共下六道圣旨，令他的儿子和殿前大臣对朱载堉本人和他的理论展开批判，展开了文字狱式的围剿。
真正了解朱载堉成就的，清代有记载的唯有音律学家江永一人而已。
西方宣称，法国数学家梅森(Marin Mersenne)首先给出十二律精准数值，发表于1636年的著作中。在他之前，荷兰数学家斯台文(Simon Stevin)于1596年提出用等比数列的思想解决“闭圆”问题，但他有计算错误，而且他的成就在300年后才被发现。
不过，人们在利玛窦的记录中却发现他已经记录了朱载堉关于新法密率的内容。
2000年左右，美国北得克萨斯大学又发现了利玛窦的两封书信，信中提到了朱载堉的历法。
各种迹象表明，朱载堉的十二平均律虽然在明末被束之高阁，但很有可能通过传教士传到了欧洲。
十二平均律的创造，对现代钢琴等一批乐器的制作、音乐体系的完善和乐器演奏技能的提高是具有决定性作用的。
西方提出的所谓十二平均律整整比朱载堉晚了半个世纪不说（朱载堉的十二平均律是在1584年以前，西方的十二平均律是在十七世纪中叶，其理论才基本完成），而且诡异的是，它是直接说出相关数值，根本没有任何推算方法和过程。
试想，你参加考试，如果直接在题目下写个答案，而没有任何计算过程，老师会怎么判断？